С последнего. Ая, Манжерок, Бирюзовая Катунь...
Аю исключите, там особо смотреть нечего, просто попсовое летнее место. Дискотеки, база на базе. Но осенью большая часть будет закрываться уже. Само озеро особого интереса не представляет. На Ае зарождался базо-дискотечный "туризм". Когда то у народа не было столько автомобилей, а до Аи автобусом ближе всего - тут тебе и горы и озеро... Вроде ты и на Алтае, а как будто в пляжном ночном клубе. Сейчас этот тип отдыха растянулся до Чемала.
Бирюзовая Катунь - искуственное озеро, окруженное забором, с песком на берегах и двумя горками. Будет ли работать в сентябре не знаю, но если купаться не собираетесь, можете просто посмотреть на окружающие гостиничные комплексы, возможно и пожить в одном из них). Но тут как я понял вы собираетесь посетить тавдинские пещеры. Так что на озеро за забором посмотрели (купаться думаю будет уже холодно), и к пещерам.
Манжерок. Стоит заехать, посмотреть на озеро, подняться на подъемнике.
Но для знакомства с Алтаем в первом приближении, чтобы прочувствовать именно природу,, рекомендую прокатиться за Чемал вдоль Катуни, до Еланды, ну или чуть дальше, пока асфальт не кончится (не помню точно до куда он, но до Еланды точно есть).
Идем дальше. По дням. 1-й день у вас в любом случае съест дорога, размещение, да и подустанете.
2-й день. Пещеры, Манжерок, дорога до Чемала и за Чемал. В Чемале народ обычно посещает ГЭС и храм на острове Патмос. Можно посмотреть, для первого раза интересно. Если утром пооперативней выдвинитесь, то все успеете.
3-4-й дни. Тут варианта 2.
Вариант 1 (назовем его мой и AndroNsk)). Едете на Телецкое озеро, заселяетесь, гуляете. На 4-й день ищите (его особо искать не надо, просто нужно найти адекватного по цене) катер либо на возрожденном в прошлом году теплоходе "Пионер Алтая" (если еще будет ходить, уточните на их сайте или по телефону) совершаете экскурсию по озеру на каменный залив, водопад Корбу. Дух Алтая там в полной мере прочувствуете, не переживайте. На 5-й день домой. Советую вам этот вариант, но решать вам.
Вариант 2 (ваш). Едете до Акташа, сворачиваете на красные ворота-Улаган, ночуете (только выбирайте жилье с отоплением, ибо околеете ночью). На 4-й день осматриваете окрестности, можете посетить гейзерное озеро (в поисковике забейте "гейзерное озеро Акташ"). Если есть желание до Курая проехаться, тоже можно. Но ваш вариант меня смущает большими расстояниями автопробега. Хоть на Алтае дороги очень хорошие, но по большей части это все же в той или иной мере серпантины, сильно не разгонишься. И обратный путь на 5-й день от Улагана до Новосибирска тоже не близкий. Есть и плюсы - посмотрите Чике-Таман, В районе Ини тоже очень красивая дорога, но я за Телецкое на первый раз))
Думайте, решайте, читайте...
И на Кату-Ярык вам точно не советую - мало времени, и погода может подкачать.