1) В посольстве в Москве подаёшь документы на визу D или на ВНЖ?
1. В Мосве можно подавать и на визу D и на ВНЖ одновременно. Но, Виза D не является обязательной. Если вы подаетесь на ВНЖ заранее (за 2-3 месяца) до учебы, то вы успеваете въехать по Визе C и получить ВНЖ уже в Таллине.
2) Вы пишите, что желательно получить эстонскую визу D в посольстве. Можно ли просто въехать по шенгенской турвизе и начать учёбу, ожидая выдачу ВНЖ?
2. Да, можно. Только по визе C вы можете находиться максимум 90 дней (если раньше поездок не было). Если "тупить" и делать все медленно, то 90 дней может не хватить. Если вы заранее подали на ВНЖ в Москве, то можно спокойно ехать по визе С.
3) Зачем среди документов на ВНЖ вы подавали рабочий контракт? Просто справки из российского банка недостаточно?
1. Нужно подтвердить что у вас есть легальный доход в 280 евро в месяц за последние полгода.
Причем для ВНЖ по учебе вообще любым способом:
Статья 9. Легальный доход
(1) Легальный доход по смыслу настоящего Закона – это законно заработанное вознаграждение за труд, родительская компенсация, компенсация по страхованию от безработицы, доход от законной коммерческой деятельности или от собственности, пенсия, стипендия, алименты, выплачиваемое иностранным государством пособие, а также содержание, обеспечиваемое членами семьи, имеющими легальный доход, если иное не устанавливается настоящим Законом.
Требование о наличии достаточного легального дохода, являющееся условием выдачи вида на жительство для учебы, может быть выполнено также посредством дохода, не указанного в статье 9 настоящего Закона.
У меня был контракт, но не было большого банковского депозита в банке – подтвердил контрактом.
5) Подойдёт любая годовая медстраховка, купленная в интернете или нужна какая-то специальная эстонская?
При подаче на внж вы пишите "Обязуюсь после получения ВНЖ купить страховку". После получения ВНЖ вы обязаны застраховаться в эстонской компании (200 евро в год - минимальная ставка). До получения ВНЖ у вас должна быть обычная туристическая страховка, купленная на любом русском сайте в интернете.
6) Требуют справку о несудимости или справку о состоянии здоровья?
Нет и нет.
7) Когда заканчиваешь учёбу и срок ВНЖ истёк, дают ли выпускнику какое-то время для поиска работы?
183 дня вы можете работать или искать работу после истечения ВНЖ (если он истек "по сроку давности", а не отобрали из-за отчисления из универа).