Первым делом, чтобы осмотреться, съездите на обзорную экскурсию по Будапешту на автобусах и корабликах типа Hop on hop off
http://www.hoponhopoff.hu/en:
билет на 48 часов стоит 6000 HUF (порядка 20 EUR), автобусы и кораблики постоянно курсируют по маршруту, в них есть аудиогиды на русском, вы можете заходить и выходить на любой понравившейся остановке.
Мировое культурное наследие ЮНЕСКО в Будапеште: проспект Андраши, набережные Дуная, Будайская крепость.
Погуляйте по Будайской крепости (Budai Var), причем, сверните с тех улиц, по которым идут все туристы на боковые улочки - увидите массу интересного. Можете посетить картинную галерею в Королевском дворце - национальная коллекция венгерской живописи. Спуститесь на фуникулере к Цепному мосту, там цифрой 0 обозначен нулевой километр, от которого начинается отсчет расстояний в Венгрии.
Прогуляйтесь по проспекту Андраши, полюбуйтесь панорамой Буды, проехавшись на трамвае № 2 по пештскому берегу, полюбуйтесь видами Пешта из окна трамвая № 41 с будайской стороны.
Прокатитесь на метро М1 (первое метро на европейском континенте) до Площади Героев (Hosok tere), на площади зайдите в Музей изящных искусств
http://www.szepmuveszeti.hu/main - там, помимо прочего, коллекция испанской живописи мирового уровня, погуляйте в городском саду (Varosliget), посмотрите снаружи очень красивый замок Вайдахуняд (в нем музей сельского хозяйства).
Обязательно сходите в термальную купальню. Летом лучше на Palatinus на остров Маргит, заодно и сам остров посмотрите.
Посидите в венгерской кондитерской - вас ждут изумительные пирожные и торты, отменный кофе.
Сходите в оперетту. Кальман - классика жанра, понятная без перевода.
Если останется время, то недалеко от Будапешта находятся:
Сэнтэндре - милыйгородок художников, музей марципанов, сувенирные магазинчики т.п.
Вышеград - замок на склоне горы, вид на излучину Дуная.
Эстергом - живописный город, большая базилика, вид на Дунай с купола.
Если останется время