В Баренцбурге есть наше консульство. Вероятно, можно связаться и выяснить, какие нужны документы для регистрации брака. Консульство официально регистрирует браки.
http://www.norway.mid.ru/ru/emb_gkbarc.htmlВ Лонгйир ходят круизные суда, соответственно должны быть агентства, которые обслуживают туристов различными экскурсиями на месте. С помощью этих агентств, вероятно можно провести церемонию. Я бы попробовал поискать координаты на местных (Шпицберген) сайтах.