Самый реальный сайт с продажей и арендой квартир по всей Турции, но больше всего по Стамбулу
http://www.hurriyetemlak.com/Одно но, на этом сайте большинство квартир предлагается на длительный срок. Хотят контракт на год, можно договориться на 6 мес. Но также встречаются варианты с посуточной арендой. На 2 месяца, через гугл можно найти варианты, которые предоставляются агентствами ориентированными на туристов. Там и по английски говорить будут, чего не скажешь о большинстве простых городских агентств. В каждом районе их море и они очень маленькие. Вы выбираете район где хотите жить и гуляя по нему смотрите по окнам. Все квартиры, что продаются или сдаются имеют вывески. На них телефоны хозяина или агентства, звоните и говорите об условиях.
Я бы на вашем месте, соориентировалась по ценам на вышеприведенном сайте (они там реальные) а потом нашла фирму, которая работает с туристами и торговалась:)