Для того, чтобы россиянину иметь право ездить по России на монгольских номерах, нужно быть резидентом Монголии. Ваш друг-монгол, приехавший к Вам в гости в российский Улан-Уде на своей машине на монгольских номерах, может, разумеется, дать Вам покататься на ней по доверенности, но Вы, как россиянин-резидент России, ездить не сможете. Это вам объяснит первый же ГИБДДэшник, арестовав авто.
Я как раз из Улан-Удэ и езда на монгольских номерах раньше пользовалась успехом, но это прикрыли - сейчас возможно этим пользуются наши граждане в приграничных районах (в границах района) - там все свои (таможня, ГИБДД)