Поезд - дорого и долго.
Пару раз ездил по Blablacar'у - но лучше заранее уточнять стоимость поездки у водителя в личке, ибо водители на маршрутах Москва - Киев и Москва - Харьков безумно любят завышать цену, написанную в объявлении. 600-1000 рублей указанных в объявлении может оказаться 3000-5000 рублей. Честных водителей не встречал, к сожалению.
Самый простой способ - Победой из Внуково, потом с жд вокзала до Харькова на автобусе/попутке. Аэропорт Белгорода находится фактически в черте города, до жд вокзала недалеко, общественного транспорта достаточно.