Форум Винского

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 16:08

Radial писал(а):
Navigator писал(а):Парадокс дней рождения — утверждение, что если дана группа из 26 или более человек, то вероятность того, что
26*25/3=216, далее 216/365 = 59% О чем я и написал выше:)
Интересно а где автор вопроса?

Откуда эта формула? Число сочетаний из N по К = N!/((N-K)! * K!)

З.Ы. Автор так и не уточнил - 3 дня рождения или не менее 3-х? Если формально, то в условии говорится ровно про три

**sono io** » 27 дек 2009, 16:18

В+М писал(а):
Откуда эта формула? Число сочетаний из N по К = N!/((N-K)! * K!)

раз эта формула, так и делите 26! на 23!3! , получается 26*25*24 делим на 2*3, то есть 2600.

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 16:29

sono io писал(а):
В+М писал(а):
Откуда эта формула? Число сочетаний из N по К = N!/((N-K)! * K!)

раз эта формула, так и делите 26! на 23!3! , получается 26*25*24 делим на 2*3, то есть 2600.

Так все правильно, с 2600 никто не спорит!

И все же, что считаем: 3 или >3?

**sono io** » 27 дек 2009, 16:34

В+М, >3, по смыслу задачи. Задача чисто житейская.
Если никто не спорит, то это что

В+М писал(а):26*25/3=216, далее 216/365 = 59%

в сообщении №81?

**АннаНа** » 27 дек 2009, 16:39

Простите, что опять встреваю и опять без численных выкладок, а только с житейскими наблюдениями.
Коллективы, как правило, подбираются по т.н. "психологической совместимости", видимо поэтому на практике число родившихся в один день значительно выше, чем "по вычислениям".
Также вспомнилась байка о том, как как-то два образованных человека поспорили на велосипед...спор заключался в следующем...по улице под окном проходят мужчины и женщины...один утверждал (опираясь на теорию вероятности) что за определённый промежуток времени практически невозможно чтобы по улице прошло 40 мужчин подряд...выиграл второй...по улице прошла рота солдат...
Уже сижу и пью коньяк (свой).

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 17:02

sono io писал(а):В+М, >3, по смыслу задачи. Задача чисто житейская.
Если никто не спорит, то это что
В+М писал(а):26*25/3=216, далее 216/365 = 59%
в сообщении №81?

Так вот и я справшиваю!

А по поводу =3 или >=3 то из условия все-таки = 3. Автор поставил вопрос: Какова вероятность, что ДР будет у троих человек в один день? Остальное неважно.

Если так, то:
Фиксируем день.
Вероятность дня того, что человек родился в данный день, 1/365. Вероятность того, что 3-и человека родились в один день, 1/365^3.
Далее, как мы уже определили, у нас имеется 2600 различных сочетаний людей (26!/(26-3)!/3!) и 365 дней в году. Чтобы определить требуемую вероятность, определим вероятность того, что данное (день рождения 3-х в один день) событие не состоится. Эта вероятность, как не сложно догадаться, (1- 1/365^3). Вероятность того, что данное событие не состоится ни для кого из 2600 групп, составит (1- 1/365^3)^2600. Вероятность того, что данное событие не состоится за все 365 дней, составит ((1- 1/365^3)^2600)^365=0.9806
Таким образом, вероятность что ДР будет у троих человек в один день составит (1-0.98)*100 = 2%.

**AndySpb** » 27 дек 2009, 17:08

В+М писал(а): составит ((1- 1/365^3)^2600)^365=0.9806
Таким образом, вероятность что ДР будет у троих человек в один день составит (1-0.98)*100 = 2%.

(1-1,9806)*100=1,94%

AndySpb писал(а):вероятность будет 1,95%

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 17:16

AndySpb писал(а):
В+М писал(а): составит ((1- 1/365^3)^2600)^365=0.9806
Таким образом, вероятность что ДР будет у троих человек в один день составит (1-0.98)*100 = 2%.

(1-1,9806)*100=1,94%

AndySpb писал(а):вероятность будет 1,95%

Ну да. Просто не заметил ответа, где не расписывалось решение....
Да и потом: случайные совпадения уже были (см. выше). Так что ответ без решения... ну в общем на усмотрения топикстартеру, если конечно ответ верен. Но пока ошибок я в нем не вижу.

Но что-то мне сдается, что топикстартер вот сейчас сидит с 25-ю коллегами, отмечает ДР 3-х человек, распивает ящик коньяка и смется над всеми нами

**Гость** » 27 дек 2009, 17:21

В+М писал(а):Но что-то мне сдается, что топикстартер вот сейчас сидит с 25-ю коллегами, отмечает ДР 3-х человек, распивает ящик коньяка и смется над всеми нами

Причем,судя по его профилю : Последнее посещение: 26 дек 2009 19:05 - распитие началось еще вчера вечером Эх,ti,ti...

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 17:48

Можно привлечь приближенные формулы, чтобы не возводить большие степени:
(1-x)^n ~ 1-nx при x ->0

Упрощаю свое решение (т.к. 1/365^3 близко к 0)
Итак, ((1- 1/365^3)^(26!/(23!*3!)))^365~
1-365*(26*25*24)/3!/365^3= 1-(26*25*24)/(3! * 365^2)=0.98,

1-0.98 = 0.02, т.е. те же 2%

**sono io** » 27 дек 2009, 20:58

Ага, придет такой автор с утреца завтра на работу и с удивлением прочитает, что вчера наобещал!

**Виталий и Марина** » 27 дек 2009, 21:22

sono io писал(а):Ага, придет такой автор с утреца завтра на работу и с удивлением прочитает, что вчера наобещал!

В+М писал(а):Чтобы определить требуемую вероятность, определим вероятность того, что данное (день рождения 3-х в один день) событие не состоится. Эта вероятность, как не сложно догадаться, (1- 1/365^3). Вероятность того, что данное событие не состоится ни для кого из 2600 групп, составит (1- 1/365^3)^2600.

В+М, первое выражение понятно, а второе - почему? Я не понимаю, ведь, если я 10 раз кидаю монетку и хочу, чтоб хоть раз выпал орел, я ж не буду считать (1-1/2)^10. А буду считать 1-1/20. Чем ситуации отличаются?

Это не так. Вероятности случайных событий перемножаются. Т.е., если вероятность события 50%, то вероятность того, что это событие случится два раза подряд - 25%, 3 раза подряд - (0.5)^3 и т.д.
Но! мы говорим о том, что данное событие происходит несколько раз подряд, а не хотя бы раз из нескольких событий! Т.е. в нашем случае (все с той же монеткой) нам нужно перейти к сценарию, при котором событие происходит несколько раз подрят. А какое это событие? Правильно, что искомое событие НЕ СЛУЧИТСЯ! Т.е. верояность того, что при двух бросках ни разу не выпадет орел, будет (1-0.5)^2, 3-и раза - (1-0.5)^3 и т.д.
С монеткой не очень наглядно (т.к. 1-0.5 = все те же 0.5)
Возмем кость. Вероятность, что выпадет 6 при одном бросании = 1/6. Вероятность, что выпадет 6 при двух бросаниях = 1/36 и т.д.
Вероятность того, что при двух бросаниях ни разу не выпадет 6, = (1-1/6)^2, при трех бросаниях (1-1/6)^3 и т.д.

Возвращась к нашем баранам, 1/365^3 - вероятность того, что у ТРОИХ день рождения в ОДИН ДЕНЬ, (1- 1/365^3) -вероятность того, что у троих не будет дня рождения в один день. Возводя в 365 степень, получаем вероятность того, что ни в один из 365 дней не будет у всех троих дня рождения, а возводя после все это дело в степень 2600 получаем вероятность того, что у любой выборке 3-х из 26 чел не будет дня рождения ни в один из 365-и дней.

**Гость** » 27 дек 2009, 21:38

Хотя наверняка наоборот,вероятность 100%,и ti вчера вместе с еще двумя именинниками из его компании отмечал днюху.Хепи бёздэй.

**sono io** » 27 дек 2009, 21:45

В+М, я уже засыпаю, у нас почти час ночи. Поэтому сначала не так написала, поправила, а потом вообще стерла пост. Завтра прочитаю и подумаю.

**Alex_ka** » 27 дек 2009, 23:27

Кажется здесь никто никого не слушает.

Еще раз объясняю свое решение (на уровне ученика 6-го класса).
Вероятность того, что ровно у троих из компании в n человек совпадут дни рождения равна следующему:

Числитель: произведение числа сочетаний (три человека празднуют день рождения в один день), то есть C(n,3) на количество размещений того, что все оставшиеся n-3 человека отмечают день рождения в другой день, то есть P(364,n-3) и все это умноженное на количество дней в году (365).

Знаменатель: 365 дней в степени n.

Итого:

P = 365*C(n,3)*P(364,n-3)/365^n

В моем предыдущем сообщении была приведена эта же формула, но уже раскрытая для n=26

P.S. Формула верна для n<366. Для 365<n<732 и для n>731 ход рассуждений и соответственно формула будут другими.

P.P.S. Если топикстартер имел в виду день рождения у троих в один определенный день, то, как я уже писал, распределение будет биномиальным Х~Bin(n,1/365) и вероятность
P(x=3)=C(n,3)364^(n-3)/365^n

**AndySpb** » 27 дек 2009, 23:36

Alex_ka писал(а):Кажется здесь никто никого не слушает.

Все ждут комментариев от ТС

**sono io** » 28 дек 2009, 06:03

В+М писал(а): Вероятности случайных событий перемножаются.

Всё, проснулась, вчера после бани и в 12 ночи сильно тормознула.

**sono io** » 28 дек 2009, 06:21

У нас -32мороза, на работу идти не хочу (все равно, конечно, придется), ТС, уже уже напиши чего-нибудь. Чтоб хоть знать, есть смысл думать еще или на трезвую голову коньяк жалко.
Маасква, просыпайся!

**Kamal** » 28 дек 2009, 09:40

Эх, математики-алкоголики!
Вероятность считается достаточно легко, но давайте посмотрим с практической точки зрения. Коньяк, это ж не сухие цифры, это ж вполне осязаемая вещь! Ближе к жизни, господа!

Задача поставлена т.о., что можно много чего навертеть. Итак, для начала есть 2 понятия Дня Рождения. 1-ое - простая календарная дата. Когда говорят про один и тот же день, это м/б один и тот же день в году, скажем 18 марта, а может быть один и тот же день вообще, т.е. 18 марта 1978 года. Вероятность совпадений второго события несколько меньше, и тут надо считать исходя из распределения по возрастной категории, отбросив скажем хвосты из нетрудоспособных младенцев и дряхлых стариков.

Лирическое отступление. Подозреваю, что автор конечно говорил не об этом, но тем не менее, для чистоты эксперимента. "День рождения" = "день варенья". Для совпадения в смысле "дня варенья" надо учитывать, что это же КОНТОРА. А контора в обычном понимании не работает по Сб., Вскр. плюс некоторое количество праздников и отпуска. Следовательно все д.р., попадающие на выходные - празднуются, скажем, либо в пятницу, либо в Пнд., что существенно повышает вероятность совпадения д.р. в эти дни.

Теперь обозначим факторы влияющие на повышение вероятности. Распределение рождаемости по году неравномерно. Существуют пики и спады, связанные со многими факторами, в частности с наличием и интенсивностью сезонных работ, температурой на улице, продолжительностью светового дня, разными циклами, религиозными постами и т.д. С последними, кстати, связаны не только некоторые ограничения, влияющие на рождаемость. что не столь заметное в наше время, но и некоторые традиции, скажем, распределение свадеб. Не секрет,например, что пик заявлений в ЗАГС приходится на Красную Горку, т.е. больше всего свадеб играют весной, через неделю после после Великого поста и последующие пару недель, причем главным образом, по выходным. Соответственно, сразу после этого наблюдается повышенное время, которое проводят в постели молодые. С учетом менструальных циклов накинем сюда еще дней 28, учтем продолжительность овуляции и получим достаточно большую вероятность зачатия именно в этот период опять же с микропиками по выходным. Т.е. интенсивность сексуальных контактов, и следовательно вероятность появления спустя 9 месяцев ребенка существенно разнится по году, поэтому если мы будем говорить о конкретных месяцах, то, скажем, вероятность совпадения д.р. с февраля по май намного выше, нежели в июне-июле. Да это собственно наверное любой может оценить, просто выписав д.р. своих друзей и родственников. Исходя из этого, вероятность того, что скажем хотя бы раз в году совпадут сразу 3 д.р., а именно об этом, насколько я понимаю, был вопрос, довольно высока и она много выше нежели просто в лоб просчитанная вероятность того, что 3 дня рождения могут выпасть на какой-нибудь ЛЮБОЙ день в году. Нас, в данном контексте нтересует именно пик и нам абсолютно фиолетовы спады. Это примерно, как с периодами солнечной активности, если считать абстрактно, какова вероятность что в этом году солнце будет активно, получим некую столь же абстрактную цифру, но если знать про 11-летний цикл и конкретные годы, то можно сказать, что вероятность пика активности в 2014 году будет близка к 100%, а в 2010 близка к 0.

Думаю, свою бутылку "Буратино" я уже заработал!

**Виталий и Марина** » 28 дек 2009, 09:57

Ну да, а уровень тестостерона у мужчин самый высокий в сентябре, так сделано для того, чтобы как раз к лету образовалось потомство, собственно, как и у других животных в природе. А еще говорят - весна -пора любви