С точки зрения транспорта, СПлитска уступает только самому Супетару. Через нее (над ней) много автобусов проходит.
Вообще расписание автобусов по острову можно смотреть тут (но сейчас их конечно меньше, чем летом):
https://www.autotrans.hr/hr-hr/dalmacija/supetarСплитска маленькая, меньше Постиры (хотя они все крошечные)
В самой Сплитске с пляжами туго, но в соседней бухте в сторону Супетара (минут 10 идти), отличный пляж и с мелким заходом, и на камнях под соснами можно лежать- нырять.
Кафе много вдоль набережной, есть ресторан над городом, магазин - 1 (но там есть все необходимое). Между Сплитской и Супетаром большой супермаркет Konzum, там вообще все есть. Вообще на рынок советую ездить/ходить в Супетар - он прямо у автовокзала, но если нужна рыба - то обязательно до 11 утра, потом они уходят.
Еще из Сплитски можно отлично гулять в Шкрип (самое старое село на острове, и виды оттуда и по дороге отличные) - это около 2 км в гору, можно идти и по шоссе, и по тропинке. До Постиры - 2 км по лесной дороге вдоль моря.
Туристы будут, конечно, они и в апреле встречаются, но толп в июне скорее всего не будет нигде, вообще массово после 15 числа начинают прибывать обычно.
Если уж вы принципиально не хотите жить с Супетаре, то не посмотреть ли вам в сторону Сутивана? Там пляжей намного больше...