К сожалению, тут я не могу Вам помочь, так как в Будапеште только брал и сдавал машину.
Со стоянками в городе не очень просто.
Могу только посоветовать воспользоваться сайтом Parkopedia.com
По ссылке
http://hu.parkopedia.com/парковки/budapest/ Вы сможете найти удобные парковки для Вашего автомобиля.
Я бы выбирал из 3-х вариантов.
1. Оставить на полдня в Буде и полдня в Пеште. Тогда нужны гаражи и стоянки без паркоматов, так как заранее неизвестно время Вашего пребывания на стоянке. Чтобы оплачивать стоянку по фактическому кол-ву проведенных часов на выезде со стоянки.
2. Вариант оставить на день в одном месте - в Пеште. Рядом с метро. И от стоянки уже на метро поехать на будайскую сторону. После осмотра вернуться в Пешт тоже на метро.
3. .Или все то же самое в Буде. В Буде удобные для этого 2 станции метро Баттяни Тер или Москва тер. На пештской стороне больше вариантов. Там сеть метро сильнее развита. И парковок соответственно тоже больше.