1. Atlantis и Antonius (последний при одноименном отеле) - это два относительно дорогих и классически изысканных места.
2. Moka. Относительно дешевое кафе, в котором шеф дает волю фантазии и создает совершенно невообразимые блюда. Особенно рекомендую супы.
3. La Dolce Vita - один из лучших итальянских ресторанов, в которых мне приходилось бывать. (Только не надо говорить, что вы в Эстонию едете не для того, чтобы в итальянских ресторанах питаться. Вы ведь не будете ждать следующей поездки в Италию, если вдруг вам захочется отведать хорошей пиццы. Здесь она просто чудесна. Важно не перепутать с находящимся на этой же улице Itaalia köök).
4. Werner. На первом этаже кофейня с очень вкусными пирожными, наверху неплохой ресторан.
5. Pahad Poisid. Недавно открывшийся бар. Отличное домашнее пиво, а всего около 50 сортов. Кухня, насколько успел распробовать, тоже на уровне - но не ожидайте изысков, бар и есть бар. Все просто, но хорошо приготовлено.
6. В Püssirohukelder (Пороховой погреб) есть смысл идти ради интерьера. Официально занесен в Книгу Гиннесса как бар с самыми высокими сводами. Действительно изначально его отрыли как пороховой погреб. Пиво здесь похуже, и еда совсем простая, но все равно ничего.
Это мои личные рекомендации. Местным еще очень нравятся Truffe и Wilde, но на мой взгляд они не всегда дотягивают до нужного уровня. Из специальных мест еще неплохи Neljapäev (рыбный ресторан - но рыба в основном местная, пресноводная) и грузинский Tbilisi. Если же решите "загудеть", то к вашим услугам улица Rüütli, где можно до утра переходить из бара в бар, начиная с Pool Kuus и заканчивая знаменитым кабаком Zavood, где ближе к утру царит полный беспредел (ну, по эстонским меркам, конечно)
Полный список всех ресторанов и кафе с адресами можно найти на тартуском туристическом сайте. Даю ссылку на англоязычный вариант, он более полный, но при желании можно и на русский переключиться.