Чтоб не скучать: загадки

[lilac72]

Порядок угадывания должен совпадать?

Нет. Порядок значения не имеет. Была такая лотерея в советское время - на карточке нужно было зачеркнуть 5 любых чисел из 36 на числовом поле. При розыгрыше из 36 пронумерованных шаров вытаскивались 5 случайным образом. Карточка выигрывала, если зачеркнутые вами числа совпадали с выпавшими - 3, 4 или 5. При 5 совпавших номерах максимальный выигрыш был до 10 тыс.рублей.

[solga77]

Порядок угадывания должен совпадать?

Нет. Порядок значения не имеет. Была такая лотерея в советское время - на карточке нужно было зачеркнуть 5 любых чисел из 36 на числовом поле. При розыгрыше из 36 пронумерованных шаров вытаскивались 5 случайным образом. Карточка выигрывала, если зачеркнутые вами числа совпадали с выпавшими - 3, 4 или 5. При 5 совпавших номерах максимальный выигрыш был до 10 тыс.рублей.

предыдущее свое сообщение отредактировала.

[lilac72]

Вот здесь решение на 9 странице:
_http://fizmat.mdpu.org.ua/biblio/docs/tv/tvms_bguir_pract.pdf

(для 5-ти номеров - 1/376992)

[Kamal]

Кстати, по запросу "two envelope paradox" гугл выдает полтора миллиона страниц, так что решение, если оно есть, находится на одной из них

Кто знает, кто знает.
Потому

начнём обсуждать.

Для начала. С выбором 1-го конверта всё более менее понятно - 50/50. Открываем и смотрим - там X денег, значит в другом денег, либо 2X, либо 0,5X, т.к. таково условие задачи. Опять же, вероятность того и другого 50/50. Т.о. средневзвешенная сумма денег во 2-м конверте 0,5*(2X+0,5X)=1,25X. Т.е. выгодно всегда менять конверт если такая возможность имеется?

[y_s_k]

Kamal
нет

[Kamal]

нет

Почему?
Кстати, на самом деле не "нет"

[y_s_k]

Kamal
50/50
Программа выше

[Laktaev]

Как мне припоминается, парадокс с двумя конвертами до сих пор не разрешен, однако предложено несколько стратегий, которые на большом числе испытаний дают лучший результат, чем постоянная замена конвертов. Эти стратегии основаны на принятии решении об обмене исходя из некоторых условий, в зависимости от суммы, увиденной в первом конверте или какой-то другой случайной величины.... Боюсь, что обсуждать это бесполезно, так как парадокс уже много лет обсуждают лучшие математики мира и до сих пор не пришли к единому мнению... Или уже пришли?

[y_s_k]

Laktaev
А как можно решить задачу, у которой вероятность 50 на 50?

[Ruslik]

Как мне припоминается, парадокс с двумя конвертами до сих пор не разрешен, однако предложено несколько стратегий, которые на большом числе испытаний дают лучший результат, чем постоянная замена конвертов. Эти стратегии основаны на принятии решении об обмене исходя из некоторых условий, в зависимости от суммы, увиденной в первом конверте или какой-то другой случайной величины.... Боюсь, что обсуждать это бесполезно, так как парадокс уже много лет обсуждают лучшие математики мира и до сих пор не пришли к единому мнению... Или уже пришли?

Нет, не пришли, так как многие отмечают некорректность и неопределенность постановки задачи. Несмотря на то, что нам, нематематикам, постановка задачи кажется ясной, математики так не думают.
Главная проблема в том, что в задаче неявным образом используется понятие бесконечности. Ведь если в первом конверте вы нашли ОЧЕНЬ большую сумму, скажем триллион долларов, то в другом конверте может быть и 2 триллиона? Как бы много денег там не было, всегда есть сумма в 2 раза больше?
И с другой стороны, даже если там ОЧЕНЬ маленькая сумма, скажем одна миллионная доллара, то в другом конверте может быть еще меньше?
То есть там бесконечность в обе стороны, от бесконечно малых до бесконечно больших величин.
А сдругой стороны, в задаче есть понятие "случайного числа с равномерным распределением". Потому что декларируется, что сумма в первом конверте может быть любая, и вероятность любой суммы одинакова. То есть вероятность обнаружить миллиард долларов такая же, как обнаружить одну миллиардную часть доллара.

Но в математике НЕТ понятия "случайное число с равномерным распределением в интервале от 0 до бесконечности"! Есть "число от 0 до бесконечности", и "случайное число с равномерным распределением в интервале от 0 до определенного числа", скажем от 0 до 1. А вот такой штуки, как "случайное число с равномерным распределением в интервале от 0 до бесконечности" нету, и никакие вычисления с ним невозможны.

[Laktaev]

Там не 50/50. Просто сбивает с толку "бытовая" постановка задачи - конверты, деньги, в некоторых вариантах галстуки... На самом деле при переводе этой "бытовухи" на математический язык нужно вводить условные вероятности и решение дальше абсолютно не тривиальное.... Я не помню, что и как там, но существует несколько подобных парадоксов, которые на лекциях приводились как иллюстрации при изучении вещей, довольно заумных. Я напрочь все забыл, так как заканчивал институт по кафедре теории вероятностей очень давно, и с того момента никогда к этому не возвращался. Но общее впечатление еще припоминается.

[y_s_k]

Laktaev
Все просто, если первый парадокс, который тут недавно обсуждали программно подтвердился (33 на 66), то второй так же подтвердился (50 на 50). Меняй не меняй конверты или что-то там другое - всегда будет 50%, что ты проиграл/выиграл.

Можно в программу забить триллион попыток, и все-равно она выдаст 50%.

Так что, можно закрывать тему про два конверта - надуманная фигня от психов-математиков.

[Kamal]

Как мне припоминается, парадокс с двумя конвертами до сих пор не разрешен

Не все считают так.
Некоторые полагают, что менять надо всегда - выше привёл аргументацию почему.
Некоторые полагают, что и парадокса-то никакого нет, поскольку следует считать средневзвешенную сумму не к той X, которую обнаружили в 1 конверте, а к общей S и тогда 0,5*(S*1/3+S*2/3)=0,5*S. Т.о., что ни делай - все 50/50.
Но всё, как справедливо отмечено, несколько сложнее, и потому

предложено несколько стратегий, которые на большом числе испытаний дают лучший результат

Поскольку, похоже, задача не сильно взволновала общественность, для интересующихся пара ссылок http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_04.html и http://www.itr.unisa.edu.au/~alex/AlexG ... SA2011.pdf.
Насколько знаю, 2-ая работа австралийцев Марка Макдоннела и Дерека Эбботта это пока последнее слово в этом вопросе. В свою очередь сами они использовали стратегию, которую за несколько лет до того предложил Томас Ковер. Суть стратегии Ковера - менять или не менять конверты в каждом заходе надо с вероятностью, зависящей от суммы, увиденной в первом конверте. То есть чем меньше сумма в конверте А, тем с большей вероятностью следует сменить конверт и наоборот, несколько большая сумма в А говорит о том, что скорее следует оставить первый конверт себе.

Тогда, в 2003-м, Дерек посчитал идею своего коллеги бредом и отказался продумывать такую стратегию. И учёного можно понять: рассудите сами, увиденная сумма не говорит человеку ровным счётом ничего о намерении, условно, ведущего (который раскладывает деньги), ведь игрок не знает — в каком вообще диапазоне играет его оппонент. Может быть, от 10 центов до 100 долларов, а может, от 5 долларов до ста миллионов. И увиденные, к примеру, однажды $25 равнозначно могут (в рамках всей партии) оказаться и сущей мелочью, и самой большой поставленной на кон суммой. И оттого неясно — стоит ли менять конверт в данном раунде игры или нет.
Однако, раскинув мозгами, Эбботт увидел за «стратегией Ковера» (так австралийские математики и назвали данный приём) глубокий философский и даже физический смысл. «Видимый парадокс возник потому, что нельзя избавиться от ощущения, что открытие конверта и наблюдение $10 на самом деле ещё не говорит вам ничего. И поэтому казалось странным, что ожидаемое значение вашего выигрыша в случае смены конверта составляет $12,5, — пояснил Эбботт. — Но мы объясняем этот казус с точки зрения нарушения симметрии. До открытия конвертов ситуация является симметричной, поэтому не имеет значения, будете вы менять потом конверт или нет. Однако после того как вы открываете конверт и используете стратегию Ковера, вы нарушаете симметрию (сразу после открытия конверта А оба конверта уже не равноценны), а затем обмен конвертов позволяет вам получить выгоду в долгосрочном плане (при большом числе заходов)».
Всё это напоминает ситуацию с «редукцией» кота Шрёдингера к одному из двух состояний (мёртв или жив), хотя до открытия коробки с ядом он находится в суперпозиции возможных состояний. Это проблема влияния наблюдателя на результат наблюдения. Чувствуете, что мы подбираемся к неким основам Природы?
Ныне свыше 20 миллионов компьютерных симуляций, проведённых Макдоннелом и Эбботтом, показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем простой обмен. А ещё, открыли австралийские учёные, предопределённый обмен, когда игрок выбирает альтернативный конверт только в том случае, если увиденная в первом сумма меньше заранее и наугад выбранного им самим (игроком) значения, тоже работает. И это так же противоинтуитивно, поскольку о минимальной планке «переключения» знает игрок, но не те, кто кладёт деньги в конверты.

Я не помню, что и как там, но существует несколько подобных парадоксов, которые на лекциях приводились как иллюстрации при изучении вещей, довольно заумных.

Да, есть ещё похожая задача - парадокс Паррондо, согласно которому, "взяв две (основанные на случае) игры, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно". Что же касается земных вещей - игра на фондовом рынке и в казино.

[Laktaev]

Ныне свыше 20 миллионов компьютерных симуляций, проведённых Макдоннелом и Эбботтом, показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем простой обмен. А ещё, открыли австралийские учёные, предопределённый обмен, когда игрок выбирает альтернативный конверт только в том случае, если увиденная в первом сумма меньше заранее и наугад выбранного им самим (игроком) значения, тоже работает. И это так же противоинтуитивно, поскольку о минимальной планке «переключения» знает игрок, но не те, кто кладёт деньги в конверты.

Y_s_k
Они тоже программу написали... Вывод: не все программы одинаковы

[Ruslik]

Ныне свыше 20 миллионов компьютерных симуляций, проведённых Макдоннелом и Эбботтом, показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем простой обмен. А ещё, открыли австралийские учёные, предопределённый обмен, когда игрок выбирает альтернативный конверт только в том случае, если увиденная в первом сумма меньше заранее и наугад выбранного им самим (игроком) значения, тоже работает. И это так же противоинтуитивно, поскольку о минимальной планке «переключения» знает игрок, но не те, кто кладёт деньги в конверты.

Как раз с австралийцами все понятно: они делали компьютерную симуляцию. Но нельзя запрограммировать компьютер выдавать "случайное число в интервале от 0 до бесконечности с нормальным распределением", смотрите мой коммент выше.
А раз нельзя, то суммы в конвертах в их симуляции имели какой-то определенный интервал. Например, от 0.0001 цента до 100000 долларов. Их система построена именно на этом ограничении. Даже если не знать границы интервала, все равно ясно, что чем больше сумма, тем более вероятно то, что она близка к верхнему пределу. И значит, если вы нашли в первом конверте 1000000 долларов, то скорее всего во втором конверте меньше денег, а не больше. И наоборот, если в первом конверте 0.1 цента, то скорее всего во втором конверте больше, а не меньше.
То есть они успешно решили не классическую задачу, где суммы ЛЮБЫЕ, а ее урезанный вариант, где суммы имеют ограничение и снизу и сверху.

[Kamal]

То есть они успешно решили не классическую задачу, где суммы ЛЮБЫЕ

Т.к. классический вариант это всё-таки деньги, то любыми они быть не могут, по определению. Т.е., как минимум, не может быть ноль и бесконечность. Хотя, если в одном конверте ни фига, то во втором тоже ни фига, но в 2 раза больше, вроде как условия не нарушает. В практическом же разрезе вряд ли стоит ожидать, что на выписанном чеке окажется сумма менее 1 дол. и более 1 млрд. дол., а если говорить о наличных, то интервал и того меньше.

Их система построена именно на этом ограничении. Даже если не знать границы интервала, все равно ясно, что чем больше сумма, тем более вероятно то, что она близка к верхнему пределу. И значит, если вы нашли в первом конверте 1000000 долларов, то скорее всего во втором конверте меньше денег, а не больше.

Что, замечу, даже в таком виде уже несколько расходится с ожиданиями тех, кто считает, что менять или не менять совершенно фиолетово.
Т.е. не всё равно, что делать. Вопрос в том, насколько "не всё равно".

[y_s_k]

Да не ведитесь вы. Это высосано из пальца.
Вероятность 50/50. Иначе был бы четкий алгоритм действий. А когда нет алгоритма, то это только подтверждает, что здесь нет никакого подвоха и других путей для поиска правильного решения.

Если бы тут были какие-то дополнительные условия, например планка премии - например, премия от 10 до 100 тысяч, тогда можно было бы подумать. Что, например, 51 тысяча точно означает, что ты вытянул максимум и второй можно не тянуть, а до 19 тысяч включительно означает, что надо брать другой... А при той постановке полная лажа и 50/50.

Kamal
даже если в первом 1 млн баксов, это не означает, что в другом нет 2 млн...

[Kamal]

А когда нет алгоритма, то это только подтверждает, что здесь нет никакого подвоха и других путей для поиска правильного решения.

[Aldan]

Так, чтоб поржать. Кто даст определение 2-му закону Ома, зараз + поставлю

[Alex_ka]

Ну если серьезно, то Вторым законом Ома иногда называют его Фазовый закон о восприятии звуковых волн человеческим ухом (1843).
А если чтобы поржать, наверное что-то, что связано с работой и рифмуется с именем Ома, типа "нас ебут и здесь и дома"